Matemáticas Avanzadas · Acceso UNED 25/45 · Ficha 2 de 13

Sistemas de ecuaciones lineales: clasificar y resolver

Es el tema que más cae del examen. Casi nunca te piden resolver todo el sistema: te piden un dato, como el signo de una incógnita, la suma de las tres o para qué parámetro no tiene solución.

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Qué te preguntan

Revisadas las preguntas de los 14 exámenes de Matemáticas Avanzadas de 2023 a 2026. Cada examen es un test de 5 u 8 preguntas con tres opciones y sin calculadora.

9 preg.Sistemas de ecuaciones lineales · en 9 de 14 exámenes

Convocatoria	Pregunta en el examen
Septiembre 2026	El sistema lineal 2x−y=α, −4x+2y=β con α,β∈R es...
Febrero 2026 (parcial)	Sea (x₀,y₀) la solución del sistema compatible determinado: x+y=β, y=α
Febrero 2026	Sea el sistema x−2y=α, 3x−5y=β
Mayo-junio 2026 (parcial)	Si (x₀,y₀,z₀) es la solución del sistema y+z=2, x+z=3, x+y=3, entonces
Mayo-junio 2026 (total)	Sea el sistema x+y=α, x+y=α+1
Mayo-junio 2025 (parcial)	Sea el sistema x+y=α, x+y=α+1

1La idea que lo ordena todo

Un sistema solo puede portarse de tres maneras.

Para quedarte con algo: todo sistema lineal es compatible determinado (una solución), compatible indeterminado (infinitas) o incompatible (ninguna). En dos incógnitas, equivale a que las dos rectas se corten, coincidan o sean paralelas.

Una solución

Compatible determinado

Las rectas se cortan en un punto.

Infinitas

Compatible indeterminado

Las rectas coinciden.

Ninguna

Incompatible

Las rectas son paralelas.

2Cómo saber cuál es: determinante y rangos

Dos herramientas que dan siempre la respuesta.

Mismo número de ecuaciones e incógnitasDeterminante

Si el determinante de la matriz de coeficientes es

\neq 0

, hay una única solución para cualquier lado derecho. Si es 0, hay que mirar más.

Caso generalRouché-Frobenius

Se compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada (la que lleva la columna de términos independientes).

Rangos	Qué es el sistema
$\operatorname{rg}A\neq\operatorname{rg}A^*$	Incompatible.
$\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=\text{número de incógnitas}$	Compatible determinado.
$\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<\text{número de incógnitas}$	Compatible indeterminado.

Ejemplo: con

x+3y=a,\; 2x+5y=b

el determinante es

1\cdot5-3\cdot2=-1\neq0

. El sistema es compatible determinado para cualquier

a

b

3Resolver sin cálculos largos

Los sistemas del examen están hechos para que salgan con sumas y restas.

Reducción:

x+y+z=6,\; x-y+z=2,\; 2x+y-z=1

. Sumando las dos primeras queda

2x+2z=8

, es decir,

x+z=4

. Restándolas,

2y=4

y=2

. En la tercera,

2x-z=-1

. Con

x+z=4

, sale

x=1

z=3

. Solución:

(1,2,3)

Sistema simétrico:

y+z=5,\; x+z=7,\; x+y=6

. Si sumas las tres, cada incógnita aparece dos veces:

2(x+y+z)=18

, luego

x+y+z=9

. Para cada incógnita basta restar:

x=9-5=4

y=9-7=2

z=9-6=3

. Cuidado: la suma pedida es 9, no 18.

Cramer (para sistemas con determinante distinto de 0): cada incógnita es un cociente de determinantes. Es útil con parámetros, y poco práctico con números si el sistema se puede reducir a ojo.

4Sistemas con parámetro

La pregunta clásica: ¿para qué valores es compatible?

Ecuación proporcional:

x+2y=a,\; 3x+6y=b

. La segunda es

3

veces el lado izquierdo de la primera. Entonces es compatible si y solo si

b=3a

(infinitas soluciones), e incompatible en cualquier otro caso.

Parámetro en los coeficientes:

kx+y=1,\; x+ky=1

. El determinante es

k^2-1

. Si

k\neq\pm1

, hay solución única. Con

k=1

las dos ecuaciones son iguales y hay infinitas. Con

k=-1

queda

-x+y=1,\; x-y=1

, que sumadas dan

0=2

: incompatible.

Siempre incompatible:

x+y=2,\; x+y=5

. Mismo primer miembro con segundos miembros distintos.

5Cómo te lo preguntan

Los modelos que se repiten en los exámenes.

ClasificarSegún el parámetro

«El sistema es incompatible si…», «es siempre compatible», «es compatible si y solo si…». Mira si una ecuación es múltiplo de la otra y cómo cambia el lado derecho.

Un dato de la soluciónSigno, suma, valor

No resuelvas del todo: suma las ecuaciones, o resta, y obtén directamente lo que piden.

Con ninguna respuesta buena«Ninguna de las otras»

Pasa mucho con estos sistemas. Si la cuenta no coincide con las dos opciones, es la tercera.

6Problemas de examen, paso a paso

Exámenes reales resueltos por el camino más corto, sin calculadora.

Examen real · Septiembre 2026

El sistema lineal 2x−y=α, −4x+2y=β con α,β∈R es...

A) incompatible si β≠−2α. ✓
B) compatible determinado si β=α.
C) Marque esta opción si ninguna de las opciones anteriores es correcta.

Miramos si una ecuación es un múltiplo de la otra. Multiplicamos la primera por $-2$ : $-4x+2y=-2\alpha$ .
La parte izquierda es igual a la de la segunda ecuación. Entonces las dos dicen lo mismo en las incógnitas.
Si la derecha también coincide ( $\beta=-2\alpha$ ), son la misma ecuación y hay infinitas soluciones.
Si no coincide ( $\beta\neq-2\alpha$ ), una ecuación dice que $-4x+2y$ vale $-2\alpha$ y la otra que vale $\beta$ . Imposible: el sistema es incompatible.

Atajo de examen: si una ecuación es múltiplo de la otra, el lado derecho también debe serlo. Si no, no hay solución.

Examen real · Febrero 2026 y Septiembre 2025

Sea el sistema x−2y=α, 3x−5y=β

A) El sistema es siempre compatible. ✓
B) El sistema es compatible si y sólo si α=β.
C) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta.

Calculamos el determinante de los coeficientes: $\begin{vmatrix}1&-2\\3&-5\end{vmatrix}$ .
Son $1\cdot(-5)-(-2)\cdot3=-5+6=1$ .
Es distinto de 0. Eso significa que hay una única solución, pongamos el número que pongamos en $\alpha$ y $\beta$ .
Respuesta: el sistema es siempre compatible.

Atajo de examen: determinante distinto de 0 → «siempre compatible». No hace falta resolver el sistema.

Examen real · Mayo-junio 2026 y Mayo-junio 2025

Sea el sistema x+y=α, x+y=α+1

A) El sistema es incompatible si y sólo si α=0.
B) El sistema es siempre incompatible. ✓
C) El sistema es incompatible si y sólo si α≠0.

Las dos ecuaciones tienen lo mismo a la izquierda: $x+y$ .
La primera dice que $x+y$ vale $\alpha$ . La segunda, que vale $\alpha+1$ .
Un número no puede valer a la vez $\alpha$ y $\alpha+1$ . Es imposible, para cualquier $\alpha$ .
El sistema es siempre incompatible.

Examen real · Mayo-junio 2026

Si (x₀,y₀,z₀) es la solución del sistema y+z=2, x+z=3, x+y=3, entonces

A) x₀+y₀+z₀ = 2.
B) x₀+y₀+z₀ = 3.
C) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta. ✓

En vez de resolver por partes, sumamos las tres ecuaciones.
A la izquierda, cada letra aparece dos veces: $2x+2y+2z$ . A la derecha: $2+3+3=8$ .
Dividimos entre 2: $x+y+z=4$ .
Las opciones dicen que la suma es 2 y que es 3. Ninguna es 4, luego la correcta es «ninguna de las dos respuestas anteriores».

Atajo de examen: cuando cada letra aparece en dos ecuaciones, la suma de todas te da

2(x+y+z)

Examen real · Febrero 2025 y Febrero 2024

Sea (x₀,y₀,z₀) la solución del sistema x+y=−1, x+z=0, y+z=1

A) z₀<0.
B) z₀=0.
C) z₀>0. ✓

Sumamos las tres ecuaciones: a la izquierda $2x+2y+2z$ y a la derecha $-1+0+1=0$ .
Dividimos entre 2: $x+y+z=0$ .
La primera ecuación dice $x+y=-1$ . Lo ponemos en la suma: $-1+z=0$ .
Entonces $z=1$ , que es mayor que 0.

7Errores típicos

Las equivocaciones más habituales al responder este tema.

Sumar sin dividirEn un sistema simétrico, la suma de las tres ecuaciones es el doble de $x+y+z$ . Hay que dividir entre 2.
Incompatible no es sin determinanteUn sistema puede tener determinante 0 y aun así ser compatible indeterminado. Depende de los términos independientes.
Parámetro que anula solo un coeficienteCon $k=0$ en $kx+y=1,\; x+ky=1$ sale $y=1,\; x=1$ : solución única.
Olvidar la ampliadaEl determinante dice si hay solución única. Para saber si es compatible o no cuando vale 0, hay que mirar también el lado derecho.
Resolver más de lo que pidenMuchas veces basta una suma o una resta. Ahorras tiempo y errores.

8Comprueba lo que sabes

Preguntas de práctica de CazaPlazas, para repasar este tema. No son preguntas de examen. Toca una opción para ver la respuesta.

Preguntas de práctica de tres opciones, como en el examen real. Sin calculadora.

Pregunta 1 de 8

Sea (x₀,y₀,z₀) la solución de x+y+z=6, x−y+z=2, 2x+y−z=1. Entonces z₀ vale...

Pregunta 2 de 8

Si (x₀,y₀,z₀) resuelve y+z=5, x+z=7, x+y=6, entonces x₀+y₀+z₀ es...

Pregunta 3 de 8

El sistema x+2y=a, 3x+6y=b es compatible si y solo si...

Pregunta 4 de 8

El sistema x+3y=a, 2x+5y=b...

Pregunta 5 de 8

El sistema x+y=2, x+y=5 es...

Pregunta 6 de 8

El sistema kx+y=1, x+ky=1 es incompatible cuando...

Pregunta 7 de 8

Un sistema con 3 incógnitas tiene rango de la matriz de coeficientes igual a 2 y rango de la ampliada igual a 2. Es...

Pregunta 8 de 8

Si (x₀,y₀) resuelve 2x−y=1, x+y=5, entonces y₀−x₀ vale...

1. Sea (x₀,y₀,z₀) la solución de x+y+z=6, x−y+z=2, 2x+y−z=1. Entonces z₀ vale...

A. 1.

B. 2.

C. 3.

2. Si (x₀,y₀,z₀) resuelve y+z=5, x+z=7, x+y=6, entonces x₀+y₀+z₀ es...

A. 18.

B. 9.

C. 6.

3. El sistema x+2y=a, 3x+6y=b es compatible si y solo si...

A. b=3a.

B. b=a.

C. siempre es compatible.

4. El sistema x+3y=a, 2x+5y=b...

A. es incompatible si b≠2a.

B. es siempre compatible determinado.

C. es compatible indeterminado para todo a y b.

5. El sistema x+y=2, x+y=5 es...

A. compatible determinado.

B. compatible indeterminado.

C. incompatible.

6. El sistema kx+y=1, x+ky=1 es incompatible cuando...

A. k=−1.

B. k=1.

C. k=0.

7. Un sistema con 3 incógnitas tiene rango de la matriz de coeficientes igual a 2 y rango de la ampliada igual a 2. Es...

A. compatible determinado, con solución única.

B. incompatible, sin solución alguna.

C. compatible indeterminado.

8. Si (x₀,y₀) resuelve 2x−y=1, x+y=5, entonces y₀−x₀ vale...

A. −1.

B. 1.

C. 5.

Soluciones

1. C. Restando las dos primeras sale y=2. Sumándolas, x+z=4. La tercera da 2x−z=−1, luego x=1 y z=3.

2. B. Al sumar las tres ecuaciones sale 2(x+y+z)=18, así que x+y+z=9.

3. A. La segunda ecuación es tres veces la primera en el lado izquierdo, luego el lado derecho debe ser 3a.

4. B. El determinante es 1·5−3·2=−1, distinto de 0. Hay solución única para cualquier a y b.

5. C. El mismo primer miembro no puede valer 2 y 5 a la vez.

6. A. Con k=−1 queda −x+y=1 y x−y=1, que sumadas dan 0=2. Con k=1 las ecuaciones coinciden (infinitas soluciones) y con k=0 hay solución única.

7. C. Los rangos coinciden, así que es compatible. Como son menores que 3 incógnitas, quedan infinitas soluciones.

8. B. Sumando las dos ecuaciones, 3x=6, luego x=2 y y=3. Entonces y−x=1.

La chuleta de 30 segundos

Tres tipos: una solución, infinitas o ninguna. En el plano: rectas que se cortan, coinciden o son paralelas.
Determinante ≠ 0 → solución única para cualquier lado derecho.
Rouché-Frobenius: rangos distintos, incompatible. Iguales y menores que las incógnitas, indeterminado.
Sistema simétrico: suma las tres ecuaciones y divide entre 2.
Con parámetro: busca si una ecuación es múltiplo de otra y qué pasa con el término independiente.

Temario elaborado por Adrián Jara Jordán
Diseñador y fundador de CazaPlazas.es

Elaborado a partir de las preguntas de las convocatorias oficiales de la UNED de Matemáticas Avanzadas y de los apuntes de la asignatura.

Material elaborado por CazaPlazas. No es material oficial de la UNED.

© 2026 Adrián Jara Jordán. CazaPlazas.es. Todos los derechos reservados. Queda prohibida la reproducción, distribución o comunicación pública de esta ficha, total o parcial, sin autorización previa y por escrito del autor.

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