Matemáticas Avanzadas · Acceso UNED 25/45 · Ficha 1 de 13

Matrices y determinantes: operaciones, determinante, rango e inversa

Sin calculadora, todo se resuelve con cuentas pequeñas de 2×2 y 3×3. Aquí tienes el método de cada cosa que te piden y el atajo que te ahorra el cálculo más largo.

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Qué te preguntan

Revisadas las preguntas de los 14 exámenes de Matemáticas Avanzadas de 2023 a 2026. Cada examen es un test de 5 u 8 preguntas con tres opciones y sin calculadora.

5 preg.Matrices (productos, potencias, ecuaciones) · en 5 de 14 exámenes

5 preg.Determinantes · en 5 de 14 exámenes

4 preg.Rango y dependencia lineal · en 4 de 14 exámenes

Convocatoria	Pregunta en el examen
Febrero 2026 (parcial)	Si A=[[1,1],[1,0]] y B=[[0,1],[1,0]] entonces
Febrero 2026	Si a y b son dos números reales para los que la matriz A=[[a,0],[1,b]] verifica que A²=A, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
Septiembre 2025	Si a y b son dos números reales para los que la matriz A=[[a,0],[1,b]] verifica que A²=A, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
Septiembre 2024	Determine qué ecuación es cierta para las matrices A=[[2,1],[3,0]], I₂=[[1,0],[0,1]], 0₂=[[0,0],[0,0]]
Septiembre 2023	Determine qué ecuación es cierta para las matrices A=[[2,1],[3,0]], I₂=[[1,0],[0,1]], 0₂=[[0,0],[0,0]]
Febrero 2026 (parcial)	Sea α un número real tal que el determinante de [[1,0,1],[α,1,0],[0,α,1]] sea igual a 2.

1La idea que lo ordena todo

Tres conceptos que se relacionan entre sí.

Para quedarte con algo: una matriz es una tabla de números. Su determinante es un único número que te dice si las filas son independientes. Si es distinto de cero, la matriz tiene inversa y el sistema asociado tiene solución única. Si es cero, hay filas que sobran y el rango baja.

Matriz

La tabla

Se suma, se multiplica y se eleva a potencias.

Determinante

Un número

Cero o no cero: eso decide casi todo.

Rango

Filas útiles

Cuántas filas aportan información nueva.

2Operaciones con matrices

La que se equivoca todo el mundo es el producto.

Operación	Cómo se hace	Cuidado con...
Suma y resta	Elemento a elemento.	Solo si las dos matrices tienen el mismo tamaño.
Número por matriz	Se multiplica cada elemento.	Se multiplican todos, no solo la primera fila.
Producto A·B	Cada elemento es una fila de A por una columna de B, multiplicando y sumando.	Exige que las columnas de A sean tantas como las filas de B.
Potencia $A^2$ , $A^3$	Se multiplica A por sí misma.	No es elevar cada elemento al cuadrado.
Identidad $I$	Unos en la diagonal y ceros fuera.	Cumple $A\cdot I = A$ .

El producto no es conmutativo. En general

A\cdot B \neq B\cdot A

. Por ejemplo, con

C=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}

D=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}

sale

CD=\begin{pmatrix}2&4\\1&5\end{pmatrix}

DC=\begin{pmatrix}4&6\\1&3\end{pmatrix}

Potencias: si

A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

, entonces

A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}

A^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}

. Elevar cada elemento daría

\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

, que es la respuesta trampa.

3Determinantes

De 2×2 de memoria, y de 3×3 desarrollando por una fila.

2×2ad − bc

\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc

. Se multiplica la diagonal principal y se resta la otra.

3×3Por una fila

Se elige una fila (mejor la que tenga ceros) y se multiplica cada elemento por su determinante menor, con los signos

+\;-\;+

alternados, en tablero de ajedrez.

Ejemplo:

\begin{vmatrix}2&1&0\\1&3&1\\0&2&1\end{vmatrix}

Desarrollando por la primera fila:

2(3\cdot1-1\cdot2)-1(1\cdot1-1\cdot0)+0=2\cdot1-1=1

Con parámetro:

\begin{vmatrix}1&2&\alpha\\0&1&1\\1&0&1\end{vmatrix}=1(1-0)-2(0-1)+\alpha(0-1)=3-\alpha

Vale cero cuando

\alpha=3

. Así se resuelven las preguntas del tipo «¿para qué α es el determinante igual a…?»: se desarrolla y queda una ecuación sencilla en α.

Propiedad	Qué pasa con el determinante
Dos filas iguales o proporcionales	Vale 0.
Una fila de ceros	Vale 0.
Se intercambian dos filas	Cambia de signo.
A una fila se le suma un múltiplo de otra	No cambia. Sirve para hacer ceros.
Se multiplica toda la matriz $n\times n$ por $k$	Se multiplica por $k^n$ . Con $n=3$ y $k=2$ , por $8$ .
Producto de matrices	$\det(AB)=\det A\cdot\det B$

4Rango y dependencia lineal

El rango cuenta las filas que no se pueden obtener de las demás.

Cómo se calcula: se hacen ceros por debajo de la diagonal (se resta a unas filas múltiplos de otras) y se cuentan las filas que no quedan a cero. También vale el mayor tamaño de un determinante que no sea cero dentro de la matriz.

Ejemplo:

\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}

. La segunda fila es el doble de la primera, así que sobra. La tercera no es múltiplo de la primera. El rango es 2.

Vectores independientes: tres vectores de

\mathbb{R}^3

son linealmente independientes cuando el determinante de la matriz que forman es distinto de cero. Por ejemplo,

u=(\alpha,4,6)

v=(0,1,5)

w=(0,2,3)

: el determinante es

\alpha(1\cdot3-5\cdot2)=-7\alpha

, luego son independientes si

\alpha\neq0

5La inversa y un atajo muy útil

Cuando te dan una ecuación con matrices, comprueba antes si cabe este truco.

Cuándo existedet ≠ 0

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

En 2×2Se cambia y se divide

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\Rightarrow A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

Ejemplo

\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}

, porque el determinante es

1

Atajo para matrices 2×2: toda matriz de este tamaño cumple

A^2-(\operatorname{tr}A)\,A+(\det A)\,I=0

, donde la traza es la suma de la diagonal. Con

B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

: traza

5

, determinante

-2

, luego

B^2-5B-2I=0

. Si en el examen te ofrecen tres ecuaciones parecidas, calcula la traza y el determinante y sabrás cuál es sin hacer el cuadrado.

Ecuaciones del tipo $A^2=A$ : si

A=\begin{pmatrix}a&0\\1&b\end{pmatrix}

, sale

A^2=\begin{pmatrix}a^2&0\\a+b&b^2\end{pmatrix}

. Igualando,

a^2=a

b^2=b

a+b=1

, así que

(a,b)

(1,0)

(0,1)

, y siempre

a^2+b^2=1

6Cómo te lo preguntan

Los modelos que se repiten en los exámenes.

DeterminantesCalcula o despeja α

Un determinante de 3×3 numérico, o con un parámetro que hay que despejar. Casi siempre admite desarrollar por una fila con un cero.

MatricesVerifica una ecuación

Te dan una matriz 2×2 y tres ecuaciones con

A^2

A

I

. Usa el atajo de la traza y el determinante.

RangoCuenta las filas útiles

Una matriz de 3×3 con una fila que es combinación de las otras. El rango es 2.

Álgebra linealIndependencia de vectores

Tres vectores con un parámetro: se pone el determinante distinto de cero.

Truco de las respuestas: en las preguntas de los exámenes más recientes, la opción «ninguna de las dos respuestas anteriores» ha sido la correcta en una de cada cinco. Haz siempre la cuenta, sin quedarte con la respuesta que más se parezca.

7Cómo atacar el test sin calculadora

Cinco hábitos que valen para todas las fichas.

Mira primero las opcionesA veces basta probar un valor concreto. Si te dan opciones con $\alpha$ , sustituye y descarta.
Busca el atajo antes de calcularUna traza, una suma de ecuaciones o un cero en una fila ahorran la mitad de la cuenta.
Comprueba tu resultadoSustituye en el enunciado. Es más rápido que repasar toda la cuenta.
«Ninguna de las dos respuestas anteriores»En los exámenes de 2025 y 2026 ha sido la correcta una de cada cinco veces. No la descartes sin hacer la cuenta.
No desarrolles de másSi piden un signo, un valor o una comparación, no resuelvas el problema completo.

8Problemas de examen, paso a paso

Exámenes reales resueltos por el camino más corto, sin calculadora.

Examen real · Mayo-junio 2026 y Mayo-junio 2025

Calcular el determinante de la matriz [[0,1,2],[1,1,0],[3,1,1]]

A) −1.
B) −3.
C) −5. ✓

Un determinante 3×3 se calcula por una fila. Elegimos la primera: $0,\;1,\;2$ . Como empieza por 0, ese término desaparece.
Cada número se multiplica por el determinante 2×2 que queda al tachar su fila y su columna. Los signos van alternando: $+,\;-,\;+$ .
El 1 (segundo número) deja $\begin{vmatrix}1&0\\3&1\end{vmatrix}=1\cdot1-0\cdot3=1$ . Con su signo menos: $-1\cdot1=-1$ .
El 2 (tercer número) deja $\begin{vmatrix}1&1\\3&1\end{vmatrix}=1\cdot1-1\cdot3=-2$ . Con su signo más: $2\cdot(-2)=-4$ .
Se suma todo: $0-1-4=-5$ .

Atajo de examen: elige siempre la fila o la columna con más ceros: te ahorras multiplicaciones.

Examen real · Febrero 2025 y Febrero 2024

Sea α el número real que hace que el determinante de [[1,0,α],[1,1,0],[0,1,1]] sea 0.

A) α>0.
B) α<0. ✓
C) α=0.

Desarrollamos por la primera fila: $1,\;0,\;\alpha$ . El 0 desaparece.
El 1 deja $\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1$ . Aporta $1\cdot1=1$ .
El $\alpha$ deja $\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1$ . Aporta $\alpha\cdot1=\alpha$ .
El determinante vale $1+\alpha$ . Nos dicen que vale 0, así que $1+\alpha=0$ y $\alpha=-1$ .
Como $-1$ es negativo, la opción correcta es $\alpha<0$ .

Atajo de examen: no piden el valor de

\alpha

, solo si es positivo o negativo. En cuanto veas que sale

-1

, ya está.

Examen real · Septiembre 2024 y Septiembre 2023

Determine qué ecuación es cierta para las matrices A=[[2,1],[3,0]], I₂=[[1,0],[0,1]], 0₂=[[0,0],[0,0]]

A) A²−2A−I₂=0₂.
B) A²−2A−2I₂=0₂.
C) A²−2A−3I₂=0₂. ✓

Hay un truco para matrices 2×2: $A^2-(\text{traza})\,A+(\text{det})\,I=0$ . Solo necesitas dos números.
La traza es la suma de la diagonal: $2+0=2$ .
El determinante es $2\cdot0-1\cdot3=-3$ .
Se sustituye: $A^2-2A+(-3)I=0$ , es decir, $A^2-2A-3I=0$ . Es la opción correcta.
Si quieres comprobarlo: $A^2=\begin{pmatrix}7&2\\6&3\end{pmatrix}$ , $2A=\begin{pmatrix}4&2\\6&0\end{pmatrix}$ , y $7-4-3=0$ , $2-2=0$ , $6-6=0$ , $3-3=0$ .

Atajo de examen: con la traza y el determinante te sale la ecuación sin calcular

A^2

Examen real · Febrero 2026 y Septiembre 2025

Si a y b son dos números reales para los que la matriz A=[[a,0],[1,b]] verifica que A²=A, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

A) a=b.
B) a²+b²=1. ✓
C) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta.

Multiplicamos $A\cdot A$ , fila por columna, con $A=\begin{pmatrix}a&0\\1&b\end{pmatrix}$ .
Fila 1 por columna 1: $a\cdot a+0\cdot1=a^2$ . Fila 1 por columna 2: $a\cdot0+0\cdot b=0$ .
Fila 2 por columna 1: $1\cdot a+b\cdot1=a+b$ . Fila 2 por columna 2: $1\cdot0+b\cdot b=b^2$ .
Decir que $A^2=A$ es igualar casilla a casilla: $a^2=a$ , $b^2=b$ y $a+b=1$ .
$a^2=a$ solo se cumple si $a=0$ o $a=1$ . Lo mismo para $b$ . Y como suman 1, las parejas son $(1,0)$ y $(0,1)$ .
En las dos parejas, $a^2+b^2=1+0=1$ . Es la opción correcta. ( $a=b$ no vale: ninguna pareja tiene los dos iguales.)

Examen real · Septiembre 2026

El rango de la matriz [[1,0,2],[2,1,5],[0,1,1]] es...

A) 2. ✓
B) 3.
C) Marque esta opción si ninguna de las opciones anteriores es correcta.

El rango es el número de filas que no se pueden sacar de las otras. El máximo es 3 porque hay 3 filas.
Primero miramos si vale 3: calculamos el determinante. Por la primera fila: $1\cdot(1\cdot1-5\cdot1)-0+2\cdot(2\cdot1-1\cdot0)$ .
Eso es $1\cdot(-4)+2\cdot2=-4+4=0$ . Con determinante 0, el rango no es 3.
Ahora miramos si vale 1: las dos primeras filas, $(1,0,2)$ y $(2,1,5)$ , no son una múltiplo de la otra (el segundo número, 0 y 1, lo impide).
Entonces el rango es $2$ .

Atajo de examen: determinante 0 → rango menor que 3. Y si hay dos filas distintas entre sí, rango 2.

Examen real · Septiembre 2024 y Septiembre 2023

Determine cuándo son linealmente independientes los vectores u=(α,4,6), v=(0,1,5), w=(0,2,3)

A) Lo son si α=0.
B) Lo son si α≠0. ✓
C) Lo son para todo valor de α.

Tres vectores son independientes cuando el determinante de la matriz que forman es distinto de 0.
Ponemos cada vector en una fila: $\begin{vmatrix}\alpha&4&6\\0&1&5\\0&2&3\end{vmatrix}$ .
Desarrollamos por la primera columna: solo el $\alpha$ no es cero. Queda $\alpha\cdot\begin{vmatrix}1&5\\2&3\end{vmatrix}$ .
El 2×2 vale $1\cdot3-5\cdot2=-7$ . El determinante es $-7\alpha$ .
Es distinto de 0 cuando $\alpha\neq0$ . Esa es la opción.

9Errores típicos

Las equivocaciones más habituales al responder este tema.

Potencia de una matrizElevar cada elemento al cuadrado no es $A^2$ . Hay que multiplicar la matriz por sí misma.
Orden del producto $A\cdot B$ y $B\cdot A$ suelen dar resultados distintos.
Signos del desarrolloLos signos alternan como en un tablero de ajedrez, empezando por $+$ arriba a la izquierda.
Multiplicar por un número $\det(kA)=k^n\det A$ , no $k\det A$ . Con 3×3 y $k=2$ , se multiplica por 8.
Determinante ceroNo significa que la matriz sea cero. Significa que no tiene inversa y que hay filas dependientes.

10Comprueba lo que sabes

Preguntas de práctica de CazaPlazas, para repasar este tema. No son preguntas de examen. Toca una opción para ver la respuesta.

Preguntas de práctica de tres opciones, como en el examen real. Sin calculadora.

Pregunta 1 de 8

El determinante de la matriz [[2,−1,0],[1,3,2],[0,1,4]] es...

Pregunta 2 de 8

El determinante de [[1,2,α],[0,1,1],[1,0,1]] vale 0 cuando...

Pregunta 3 de 8

Si A=[[1,1],[0,1]], entonces A³ es...

Pregunta 4 de 8

Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. ¿Qué afirmación es cierta en general?

Pregunta 5 de 8

El rango de la matriz [[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]] es...

Pregunta 6 de 8

Si A es una matriz 3×3 con det A = 4, el determinante de 2A vale...

Pregunta 7 de 8

Para A=[[3,1],[1,0]] se cumple que...

Pregunta 8 de 8

Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si...

1. El determinante de la matriz [[2,−1,0],[1,3,2],[0,1,4]] es...

A. 24.

B. 20.

C. Ninguna de las otras dos respuestas es correcta.

2. El determinante de [[1,2,α],[0,1,1],[1,0,1]] vale 0 cuando...

A. α=−3.

B. α=0.

C. α=3.

3. Si A=[[1,1],[0,1]], entonces A³ es...

A. [[1,1],[0,1]].

B. [[1,3],[0,3]].

C. [[1,3],[0,1]].

4. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. ¿Qué afirmación es cierta en general?

A. A·B = B·A siempre.

B. A·B y B·A pueden ser distintas.

C. A·B = B·A solo si el determinante es 0.

5. El rango de la matriz [[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]] es...

A. 1.

B. 3.

C. 2.

6. Si A es una matriz 3×3 con det A = 4, el determinante de 2A vale...

A. 8.

B. 32.

C. 16.

7. Para A=[[3,1],[1,0]] se cumple que...

A. A² − 3A − I = 0.

B. A² − 3A + I = 0.

C. A² − 3A − 3I = 0.

8. Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si...

A. todos sus elementos son distintos de 0.

B. su determinante es distinto de 0.

C. su determinante es igual a 1.

Soluciones

1. A. Desarrollando por la primera fila: 2·(12−2) − (−1)·(4−0) + 0 = 20 + 4 = 24.

2. C. Desarrollando sale 3−α. Se anula para α=3.

3. C. A²=[[1,2],[0,1]] y A³=A²·A=[[1,3],[0,1]]. Elevar cada elemento daría la primera opción, que es la trampa.

4. B. El producto de matrices no es conmutativo.

5. C. La segunda fila es el doble de la primera, y la tercera no es proporcional a ella. Hay dos filas independientes.

6. B. det(kA)=kⁿ·det A. Con n=3 y k=2: 2³·4 = 32.

7. A. La traza es 3 y el determinante −1, así que A² − 3A − I = 0.

8. B. La condición es det A ≠ 0. No hace falta que valga 1 ni que no haya ceros.

La chuleta de 30 segundos

Producto de matrices: fila por columna. No es conmutativo y $A^2$ no es elevar cada elemento.
2×2: $ad-bc$ . 3×3: se desarrolla por una fila, con signos alternados.
Filas iguales, proporcionales o de ceros → determinante 0. $\det(kA)=k^n\det A$ .
Rango = filas independientes. Tres vectores de $\mathbb{R}^3$ son independientes si su determinante es distinto de 0.
2×2: $A^2-(\operatorname{tr}A)A+(\det A)I=0$ . Inversa solo si $\det A\neq0$ .

Temario elaborado por Adrián Jara Jordán
Diseñador y fundador de CazaPlazas.es

Elaborado a partir de las preguntas de las convocatorias oficiales de la UNED de Matemáticas Avanzadas y de los apuntes de la asignatura.

Material elaborado por CazaPlazas. No es material oficial de la UNED.

© 2026 Adrián Jara Jordán. CazaPlazas.es. Todos los derechos reservados. Queda prohibida la reproducción, distribución o comunicación pública de esta ficha, total o parcial, sin autorización previa y por escrito del autor.

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