01Lógica
Sea p la proposición "pienso" y q la proposición "triunfo"; la proposición "si no pienso, no triunfo" se representa por
a¬p→¬q.✓ correcta
b¬(p∧q).
c(¬p)∧(¬q).
Por qué: "No pienso" es ¬p y "no triunfo" es ¬q, así que "si no pienso, no triunfo" se representa exactamente como el condicional ¬p→¬q.
02Conjuntos
Si #(A)=6 y #(A∩B)=3, entonces
a#(A−B)=3.✓ correcta
b#(A−B)=18.
c#(A−B)=9.
Por qué: Los elementos de A se reparten entre los que también están en B (A∩B) y los que no (A−B): #(A−B)=#(A)−#(A∩B)=6−3=3.
03Álgebra / Planteamiento de ecuaciones
Salgo por la tarde de casa con d €. Voy al cine y gasto (d/6) €, después en la cena gasto (d/3) € y en los taxis de ida y vuelta (d/12) € en cada uno de ellos, llegando a casa con 80 €. Entonces, salí de casa con
a460 €.
b520 €.
c240 €.✓ correcta
Por qué: El gasto total es d/6 (cine) + d/3 (cena) + 2·(d/12) (dos taxis) = d/6+2d/6+d/6=4d/6=2d/3. Como sobran 80€: d−2d/3=d/3=80, así que d=240€.
04Álgebra / Planteamiento de ecuaciones
Una persona tiene unos ingresos de x € mensuales, gastándose en Luz (x/16), Teléfono (x/12), Gas (x/18), Manutención (x/2) y Varios (x/24), entre paréntesis figura la proporción de dinero gastado, sobrándole 370 € al final de mes. Entonces los ingresos personales son de
a1440 €.✓ correcta
b1600 €.
c1500 €.
Por qué: Sumando las fracciones gastadas (mínimo común múltiplo 144): x/16+x/12+x/18+x/2+x/24 = (9x+12x+8x+72x+6x)/144 = 107x/144. Lo que sobra es x−107x/144=37x/144=370€, de donde x=370·144/37=1440€.
05Geometría analítica
Las rectas de ecuación x=4y−7 y x−y=2
ason perpendiculares.
bson paralelas.
cse cortan en el punto (5,3).✓ correcta
Por qué: Sustituyendo (5,3) en ambas ecuaciones: 5=4·3−7=5 ✓ y 5−3=2 ✓, por lo que el punto (5,3) pertenece a las dos rectas. Además sus pendientes (1/4 y 1) no son iguales ni su producto es −1, así que no son paralelas ni perpendiculares.
06Geometría analítica
La longitud, en unidades de longitud, u.l, de la circunferencia de ecuación x²+y²−6x+2y+6=0 es
a6√6π u.l.
b4π u.l.✓ correcta
c√24π u.l.
Por qué: Completando cuadrados: (x−3)²+(y+1)²=9+1−6=4, así que el radio es r=2. La longitud de la circunferencia es 2πr=4π u.l.
07Límites de funciones
Si f es la función definida por f(x)=(x−2)/(x²−4), se cumple:
alím x→2 f(x) = 1/4.✓ correcta
blím x→2 f(x) = 0.
clím x→2 f(x) = ∞.
Por qué: Factorizando x²−4=(x−2)(x+2), se simplifica f(x)=1/(x+2) para x≠2. El límite cuando x→2 es 1/(2+2)=1/4.
08Límites de funciones
El límite de f(x)=(3x−1)/√(2x²−4x+1) cuando x→2 es
Por qué: Sustituyendo x=2: numerador=3·2−1=5, y dentro de la raíz: 2·4−4·2+1=8−8+1=1, cuya raíz es 1. El límite es 5/1=5.
09Probabilidad
Se lanzan simultáneamente un dado de 6 caras y una moneda, ambos equilibrados. La probabilidad de obtener cara y 5 es
a5/6.
b1/12.✓ correcta
c1/6.
Por qué: Al ser sucesos independientes, la probabilidad conjunta es el producto de las probabilidades individuales: P(cara)·P(5)=(1/2)·(1/6)=1/12.