01Lógica
Si p es la proposición "estoy concentrado", q la proposición "estudiando matemáticas" y r la proposición "aprobaré matemáticas", la proposición "si no estoy concentrado, aunque estudie matemáticas no las aprobaré" se expresa por
a(p ∧ ¬q) → ¬r.
b¬(p ∧ q) → ¬r.
c(¬p ∧ q) → ¬r.✓ correcta
Por qué: "No estoy concentrado (¬p) y estudie matemáticas (q)" es el antecedente ¬p∧q, y "no las aprobaré" es el consecuente ¬r. Se simboliza (¬p∧q)→¬r.
02Conjuntos
Si A es el conjunto de los números pares y B el conjunto de los números múltiplos de 3, A∩B es
a∅.
bel conjunto de los números menores que 6.
cel conjunto de los números múltiplos de 6.✓ correcta
Por qué: Los números que son a la vez pares y múltiplos de 3 son exactamente los múltiplos de 6 (mcm(2,3)=6).
03Aplicaciones
La aplicación f : N ↦ N que asigna a cada n∈N el número 3·n−1, cumple
ala preimagen de 5 es 2 y la imagen de 4 es 11.✓ correcta
bla imagen de 5 es 14 y la preimagen de 3 es 8.
cla preimagen de 11 es 5 y la imagen de 22 es 7.
Por qué: f(4)=3·4-1=11. Si f(n)=5, 3n-1=5, n=2. Ambas afirmaciones de a) son correctas. En b) f(5)=14 es correcto, pero la preimagen de 3 sería n con 3n-1=3, n=4/3, no natural. En c) la preimagen de 11 es n con 3n-1=11, n=4, no 5.
04Sistemas de numeración
En base 6, (513)₆ es el número decimal
Por qué: (513)₆ = 5·36+1·6+3 = 180+6+3 = 189.
05Álgebra / Planteamiento de ecuaciones
Un motorista sale con el depósito lleno de gasolina y consume las 2/5 partes del mismo al realizar un trayecto, la tercera parte del resto en otro trayecto quedando todavía 6 litros en el depósito. Entonces, la capacidad del depósito es de
a25 litros.
b20 litros.
c15 litros.✓ correcta
Por qué: Tras consumir 2/5, queda 3/5 del depósito C. Tras consumir 1/3 de ese resto queda 2/3·(3/5)C = 2/5 C, que son los 6 litros: 2/5 C=6, C=15.
06Álgebra / Planteamiento de ecuaciones
La edad de un padre es hoy el cuádruple de la edad de su hijo pero dentro de 5 años, será solo del triple. Entonces, la suma de las edades de ambos es
a42 años.
b50 años.✓ correcta
c44 años.
Por qué: p=4h y p+5=3(h+5). Sustituyendo: 4h+5=3h+15, h=10, p=40. La suma es 40+10=50 años.
07Potencias y radicales
La mayor de las siguientes expresiones, es a) √2·(3√2+√18) b) √3·[(3⁴)^(1/3)+2·3^(1/2)] c) [10·(1/5+3/10)]:1/2
a√2·(3√2+√18).
b√3·[(3⁴)^(1/3)+2·3^(1/2)].✓ correcta
c[10·(1/5+3/10)]:1/2.
Por qué: Calculando: a) = √2·(3√2+3√2) = √2·6√2 = 12. b) = √3·(3^(4/3)+2√3) ≈ √3·(4.33+3.46) ≈ 1.73·7.79 ≈ 13.49. c) = [10·0.5]:0.5 = 5:0.5 = 10. La mayor es b).
08Geometría analítica
El punto situado en la recta de ecuación y = 4x−3 que tiene abscisa igual a 1/2 es:
a(1/2,−1).✓ correcta
b(1/2,−3).
c(1/2,4).
Por qué: Sustituyendo x=1/2: y=4·(1/2)-3=2-3=-1. El punto es (1/2,-1).
09Geometría analítica
La ecuación de la circunferencia de radio 3 y centro (−1,4) es:
a(x−1)²+(y−4)² = 9.
bx²+y²+2x−8y+9 = 0.
c(x+1)²+(y−4)² = 9.✓ correcta
Por qué: La ecuación de una circunferencia de centro (a,b) y radio r es (x-a)²+(y-b)²=r². Con centro (-1,4) y r=3: (x+1)²+(y-4)²=9.
10Límites de funciones
La función f(x) = (x−1)², es
adiscontinua en x=1 y continua en x=2.
bdiscontinua en x=1 y x=2.
ccontinua en x=1 y x=2.✓ correcta
Por qué: f(x)=(x-1)² es una función polinómica, y los polinomios son continuos en todo su dominio (todos los reales), incluidos x=1 y x=2.
11Derivadas
El precio de venta de un lingote de una onza de oro es una función de la cotización del oro dada por f(x) = 1.080x − 3; su derivada es
a1.080x.
b1.080.✓ correcta
c−3.
Por qué: La derivada de una función lineal f(x)=mx+b es la pendiente m, constante. Aquí f'(x)=1.080.
12Probabilidad
La probabilidad de que un recién nacido en España sea un niña es, aproximadamente, de 0.512. Considerando cada nacimiento como un fenómeno independiente de los nacimientos anteriores, la probabilidad de que una mujer que ha tenido tres alumbramientos haya dado a luz tres niñas es:
a0.134.✓ correcta
b0.512.
c0.256.
Por qué: Al ser sucesos independientes, P(3 niñas) = 0.512³ ≈ 0.1342.
13Estadística
Los comercios de una pequeña ciudad se han agrupado según el número de dependientes, xᵢ, observándose las frecuencias absolutas Fᵢ que indica la tabla: xᵢ 1 2 3 4 / Fᵢ 32 22 14 12. Las frecuencias relativas de comercios con
ados dependientes es 0.25.
bun sólo dependiente es 0.40.✓ correcta
cmás de 2 dependientes es 0.30.
Por qué: Total = 32+22+14+12 = 80. Frecuencia relativa de 1 dependiente = 32/80 = 0.40. La de 2 dependientes es 22/80=0.275, y la de más de 2 (14+12)/80=0.325, así que solo b) es correcta.
14Probabilidad
La probabilidad de que un hombre viva 75 años es 1/4 y la de que su mujer viva 75 años es 1/2. Entonces, la probabilidad de que el hombre no viva 75 años y su mujer sí, es
a1/8.
b3/8.✓ correcta
c3/4.
Por qué: Al ser sucesos independientes, P(hombre no vive 75 y mujer sí) = (1-1/4)·(1/2) = (3/4)·(1/2) = 3/8.
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