01Lógica
Consideremos las proposiciones p ≡ "el gato es un animal limpio", q ≡ "el gato es un animal huidizo" y r ≡ "el gato es un animal de siete vidas". Entonces la proposición "el gato es un animal limpio o huidizo, pero no tiene siete vidas" se puede representar por
ap ∧ q ∧ r.
b(p ∨ q) ∧ (¬r).✓ correcta
cp ∧ q ∧ (¬r).
Por qué: "Limpio o huidizo" es la disyunción p∨q, y "pero no tiene siete vidas" añade ¬r en conjunción. Se representa (p∨q)∧(¬r).
02Conjuntos
El conjunto A = {Días festivos de 2017} está definido
apor inclusión.
bpor enumeración.
cpor descripción.✓ correcta
Por qué: El conjunto está definido mediante una propiedad que deben cumplir sus elementos (ser días festivos de 2017), es decir, por descripción, no listando cada elemento uno a uno.
03Aplicaciones
Dados los conjuntos A = {a,b,c} y B = {x,y}, si f : A → B es la aplicación f(a)=x, f(b)=y, f(c)=y entonces
af es inyectiva pero no sobreyectiva.
bf es biyectiva.
cf es sobreyectiva pero no es inyectiva.✓ correcta
Por qué: Todos los elementos de B tienen preimagen (x proviene de a, y proviene de b y c), así que es sobreyectiva. No es inyectiva porque f(b)=f(c)=y con b≠c.
04Sistemas de numeración
El número de dígitos que tiene el número decimal 213 cuando se representa en base 3 es
Por qué: 213 en base 3: 213=2·81+1·27+0·9+2·3+0=(21220)₃, que tiene 5 dígitos.
05Porcentajes
En un cine hay dos tipos de butacas, A y B. El 90 % son del tipo A. Están en mal estado el 2 % de las butacas tipo A y el 1 % de las butacas tipo B. Entonces el porcentaje de butacas en mal estado en el cine alcanza el
a1.9 %.✓ correcta
b2.8 %.
c0.6 %.
Por qué: Porcentaje total en mal estado = 0.9·0.02+0.1·0.01 = 0.018+0.001 = 0.019 = 1.9%.
06Álgebra / Planteamiento de ecuaciones
Una persona tiene unos ingresos de x euros mensuales. Gasta x/16 euros en el recibo de la luz, x/12 euros en el recibo del teléfono, x/18 euros en el recibo del gas, x/2 euros en manutención y x/24 en otros gastos. Le sobran 370 euros a final de mes. Entonces sus ingresos mensuales ascienden a
a1600 euros.
b1440 euros.✓ correcta
c1500 euros.
Por qué: x - (x/16+x/12+x/18+x/2+x/24) = 370. Sumando las fracciones de gasto (mínimo común múltiplo 144): 9x/144+12x/144+8x/144+72x/144+6x/144=107x/144. Entonces x-107x/144=37x/144=370, x=1440.
07Porcentajes
Si un vehículo costaba 13500 euros hace seis meses y ahora cuesta 13150 euros, la variación en el precio ha sido del
a−5.16 %.
b−2.59 %.✓ correcta
c−4.14 %.
Por qué: Variación % = (13150-13500)/13500 · 100 = -350/13500 · 100 ≈ -2.59%.
08Geometría analítica
El área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden, respectivamente, 3 y 4 metros es igual
a6m².✓ correcta
b12m².
c15m².
Por qué: El área de un triángulo rectángulo es (cateto1·cateto2)/2 = (3·4)/2 = 6m².
09Geometría analítica
Dos ciclistas circulan por un plano cartesiano con origen (0,0) siguiendo, respectivamente, las trayectorias descritas por las rectas de ecuaciones 3x−4y=18 y x/2+5y/3=−4. Entonces la ordenada del punto de encuentro es
Por qué: Resolviendo el sistema: 3x-4y=18 y x/2+5y/3=-4. De la segunda, x=-8-10y/3. Sustituyendo en la primera: 3(-8-10y/3)-4y=18, -24-10y-4y=18, -14y=42, y=-3. Efectivamente la ordenada es -3.
10Análisis
El intervalo abierto (0,∞) es el conjunto de los números reales x que verifican
ax > 0.✓ correcta
bx ≥ 0.
cx < 0.
Por qué: El intervalo abierto (0,∞) excluye el 0 e incluye todos los valores mayores, es decir x>0.
11Derivadas
Sea la función f(x) = (1+x)/(1−x), definida para x≠1. La derivada de f en x=3 es igual a
Por qué: Por la regla del cociente: f'(x)=[(1-x)+(1+x)]/(1-x)² = 2/(1-x)². En x=3: f'(3)=2/(1-3)²=2/4=1/2.
12Probabilidad
Lanzamos tres veces una moneda equilibrada. La probabilidad de obtener solamente dos caras es
a1/2.
b3/8.✓ correcta
c7/8.
Por qué: Hay C(3,2)=3 formas de obtener exactamente 2 caras de 3 lanzamientos, cada una con probabilidad (1/2)³=1/8. Total: 3/8.
13Estadística
La calificación media obtenida por siete alumnos, A,B,…, en la asignatura de matemáticas, cuyas calificaciones aparecen en la siguiente tabla: A 7, B 8, C 6, D 7, E 4, F 5, G 4, es
a5.45.
b5.67.
c5.86.✓ correcta
Por qué: Suma = 7+8+6+7+4+5+4 = 41. Media = 41/7 ≈ 5.857 ≈ 5.86.
14Estadística
¿Cuál de entre las siguientes características es una variable estadística cualitativa?
aSexo de un individuo.✓ correcta
bEstatura de un individuo.
cEdad de un individuo.
Por qué: Sexo es una característica no numérica (cualitativa), mientras que estatura y edad son variables cuantitativas medibles numéricamente.
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