01Lógica
¿Cuál de los siguientes enunciados compuestos emplea el condicional?
a"Jugar a la lotería es ganar o perder."
b"Jugar y ganar a la lotería es difícil."
c"Si gano al jugar a la lotería me iré de vacaciones."✓ correcta
Por qué: La opción a usa una disyunción (o) y la b una conjunción (y). La opción c tiene la estructura "si..., entonces...", propia del condicional.
02Lógica
Si p es falsa, la proposición ¬(p∧q)→(¬q∨p) es
averdadera.
bverdadera o falsa, según el valor de verdad de q.✓ correcta
cfalsa.
Por qué: Con p falso, p∧q siempre es falso, así que ¬(p∧q) es verdadero y el condicional equivale al valor de su consecuente, ¬q∨p. Como p es falso, ese valor depende solo de q: si q es falsa, ¬q∨p es verdadero; si q es verdadera, es falso.
03Conjuntos
Si U={1,2,3,4,5}; A={2,3,5} y B={1,5}, se verifica que
aAᶜ∩Bᶜ=∅.
b(A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ.✓ correcta
c(A-B)ᶜ=(B-A)ᶜ.
Por qué: Es una de las leyes de De Morgan, válida siempre: el complementario de la intersección es la unión de los complementarios. Con los conjuntos dados, Aᶜ∩Bᶜ={4}≠∅ y (A-B)ᶜ≠(B-A)ᶜ, así que las otras dos opciones fallan.
04Aplicaciones
Dados los conjuntos A={1,2,3,4} y B={a,b,c,d}, si f:A→B es la aplicación f(1)=b; f(2)=a; f(3)=d; f(4)=c, entonces
af no es aplicación sobreyectiva.
bf es aplicación biyectiva.✓ correcta
cf no es aplicación inyectiva.
Por qué: Cada elemento de A tiene una imagen distinta (inyectiva) y esas imágenes cubren todo B (sobreyectiva), así que f es biyectiva.
05Aplicaciones
Sean A, B, C tres conjuntos y f, g las aplicaciones: f:A→B, g:B→C, definidas por f(x)=-2x+5, g(x)=-3x². Entonces, el transformado de x por la composición h(x)=(g∘f)(x) es
ah(x)=4x²+25.
bh(x)=-15x²+6x-3.
ch(x)=-12x²+60x-75.✓ correcta
Por qué: h(x)=g(f(x))=g(-2x+5)=-3·(-2x+5)²=-3·(4x²-20x+25)=-12x²+60x-75.
06Sistemas de numeración
La expresión 6·7³+1·7²+5·7¹+3·7⁰ es igual a
a9261.
b(15)₇.
c(6153)₇.✓ correcta
Por qué: La expresión es exactamente el desarrollo en potencias de 7 de las cifras 6,1,5,3, así que representa el número (6153) escrito en base 7.
07Aritmética
5·(1/2-3/10)+[(3/2·1/5):(1/3-5/6)] es igual a
a-27/20.
b2/5.✓ correcta
c1.
Por qué: 1/2-3/10=1/5, y 5·(1/5)=1. Por otro lado, 3/2·1/5=3/10 y 1/3-5/6=-1/2, así que (3/10):(-1/2)=-3/5. Sumando: 1-3/5=2/5.
08Porcentajes
El precio de cierto producto subió un 3% durante el verano y un 5% más durante el invierno. La subida total en ambas estaciones ha sido del
a8.15%.✓ correcta
b6.66%.
c7.04%.
Por qué: Las subidas se combinan multiplicando los factores: 1.03·1.05=1.0815, es decir, una subida total del 8.15%.
09Ecuaciones
La solución de la ecuación -2·((7x-4)/3)=5·((3x+1)/2), es
ax=31/73.
bx=-7/73.
cx=1/73.✓ correcta
Por qué: Multiplicando en cruz: -4(7x-4)=15(3x+1) → -28x+16=45x+15 → 1=73x → x=1/73.
10Ecuaciones
Hace 2 años la edad de una madre era cuatro veces la edad de su hija; pero, dentro de 6 años será solamente el triple. La suma de las edades de ambas es
a84 años.✓ correcta
b78 años.
c64 años.
Por qué: Si m y h son las edades actuales: m-2=4(h-2) y m+6=3(h+6). Resolviendo el sistema se obtiene h=18 y m=66, así que la suma de edades es 84.