01Lógica
¿Cuál de las siguientes oraciones no es una proposición compuesta?
a"No hace frío pero nieva."
b"Hace sol, entonces hace calor."
c"Hoy nieva."✓ correcta
Por qué: Las opciones a y b combinan dos proposiciones (con "pero" y "entonces"), mientras que la c es una única proposición simple.
02Lógica
El razonamiento: "Si como poco entonces me mareo. No me mareo. Por tanto, no como poco", es
aEs lógicamente válido, por aplicación del modus ponendo ponens.
bEs lógicamente válido, por aplicación del modus tollendo tollens.✓ correcta
cEs una falacia.
Por qué: Negar el consecuente ("no me mareo") para concluir la negación del antecedente ("no como poco") es exactamente la estructura del modus tollendo tollens, un razonamiento válido.
03Conjuntos
Se consideran los conjuntos A={1,3,5}, B={2,3,4}, C={1,4,5} dentro del conjunto universal U={1,2,3,4,5,6,7}. Entonces
a(A∩B)ᶜ∪(B∩C)ᶜ=U.✓ correcta
b(B∩C)ᶜ={1,2,3,4,6}.
c(A∩B)ᶜ={1,2,3,4,5}.
Por qué: A∩B={3}, con complementario {1,2,4,5,6,7}; B∩C={4}, con complementario {1,2,3,5,6,7}. La unión de ambos complementarios cubre los siete elementos de U.
04Aplicaciones
Sean A y B los conjuntos A={1,a,b}, B={2,c,d} y f la aplicación: f:A↦B, definida por f(1)=c, f(a)=d, f(b)=d, entonces, la imagen inversa del subconjunto C={c,d}⊂B es
af⁻¹(C)={a,b}.
bf⁻¹(C)={1,a,b}.✓ correcta
cf⁻¹(C)={1,b}.
Por qué: Los tres elementos de A tienen su imagen en C: f(1)=c, f(a)=d y f(b)=d, así que f⁻¹(C) es todo A, es decir {1,a,b}.
05Conjuntos
Sean A y B los conjuntos A={a,b,c,d}, B={1,2,3}, entonces
a#(A∪B)=7.✓ correcta
b#(A∪B)=3.
c#(A∪B)=∅.
Por qué: A y B no comparten ningún elemento, así que #(A∪B)=#(A)+#(B)=4+3=7.
06Sistemas de numeración
La expresión del número en base 7, (1728)₇, en el sistema de numeración en base 3, es
a(222020)₃.✓ correcta
b(20222)₃.
c(121002)₃.
Por qué: Pasando primero a decimal, 1·7³+7·7²+2·7+8=708. Convirtiendo 708 a base 3 se obtiene (222020)₃.
07Aritmética
El resultado simplificado de la expresión [(1/3-2/5):(-3/5+1/2)]·(-2/3+1/6) es
a7/30.
b-5/18.
c-1/3.✓ correcta
Por qué: 1/3-2/5=-1/15 y -3/5+1/2=-1/10, así que su cociente es 2/3. Multiplicando por -2/3+1/6=-1/2, resulta (2/3)·(-1/2)=-1/3.
08Potencias y radicales
√2·[√8-√72+√50] es igual a
Por qué: √8=2√2, √72=6√2 y √50=5√2, así que el corchete vale 2√2-6√2+5√2=√2. Multiplicando por √2 fuera del corchete: √2·√2=2.
09Ecuaciones
La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruplo del mayor de ellos menos 15. Entonces, el menor de los tres números es
Por qué: Llamando n, n+1, n+2 a los tres números, su suma es 3n+3, y el cuádruplo del mayor menos 15 es 4(n+2)-15=4n-7. Igualando: 3n+3=4n-7, de donde n=10.
10Ecuaciones
La suma de las edades de dos hermanos es de 46 años, mientras que el triple de la edad de uno de ellos más el doble de la del otro suman 117 años. Entonces, la diferencia de edad entre el mayor y el menor de los hermanos es de
a4 años.✓ correcta
b8 años.
c2 años.
Por qué: Si x+y=46 y 3x+2y=117, despejando y=46-x y sustituyendo: 3x+2(46-x)=117 → x+92=117 → x=25, y=21. La diferencia entre 25 y 21 es 4 años.