01Lógica
La oración "no me regañes nunca"
aNo es una proposición lógica.✓ correcta
bEs una proposición lógica simple.
cEs una proposición lógica compuesta.
Por qué: Es una orden o mandato, no una afirmación que pueda calificarse de verdadera o falsa, así que no es una proposición lógica.
02Lógica
El razonamiento: p∧q, p, ∴ ¬q
aEs lógicamente válido por ser un caso particular del modus tollendo ponens.
bEs una falacia.✓ correcta
cEs lógicamente válido por ser un caso particular del modus ponendo ponens.
Por qué: De p∧q (ambas verdaderas) y p, no se puede concluir ¬q, ya que precisamente q es verdadera según la premisa. Es una falacia.
03Conjuntos
Sea U = {1,2,3,4,5,6} el conjunto universal. Consideremos los conjuntos A = {1,3,6} y B = {2,4,5}. Entonces no se verifica que
aAᶜ∪Bᶜ = U.
b(A−B)ᶜ = (B−A)ᶜ.✓ correcta
cAᶜ∩Bᶜ = ∅.
Por qué: A y B son complementarios entre sí (A∪B=U, A∩B=∅). Aᶜ=B y Bᶜ=A, así que Aᶜ∪Bᶜ=B∪A=U (cierto). Aᶜ∩Bᶜ=B∩A=∅ (cierto). Pero A-B=A={1,3,6} y B-A=B={2,4,5}, son distintos, así que sus complementarios también lo son: (A-B)ᶜ=Bᶜ=A={1,3,6} y (B-A)ᶜ=Aᶜ=B={2,4,5}, que no son iguales. Esta es la afirmación que NO se verifica.
04Conjuntos
Se define por descripción el conjunto A = {x∈Z | x²=9}, siendo Z el conjunto de los números enteros. Entonces, A definido por enumeración es
aA = {1,−1,3,−3,9,−9}.
bA = {±3²}.
cA = {3,−3}.✓ correcta
Por qué: Los enteros cuyo cuadrado es 9 son 3 y -3, así que A={3,-3}.
05Aplicaciones
Sean los conjuntos A = {a,b,c} y B = {1,2,3,4}, y sea f : A → B la transformación definida por f(a)=2; f(b)=4; f(c)=3. Entonces
af es aplicación inyectiva.✓ correcta
bf es aplicación sobreyectiva.
cf no es aplicación.
Por qué: Cada elemento de A tiene una imagen distinta (2, 4 y 3), así que f es inyectiva. No es sobreyectiva porque el elemento 1 de B no tiene preimagen.
06Sistemas de numeración
En base 7, el número decimal 6453 se expresa
a(24546)₇.✓ correcta
b(16542)₇.
c(10554)₇.
Por qué: Dividiendo sucesivamente 6453 entre 7: 6453=921·7+6, 921=131·7+4, 131=18·7+5, 18=2·7+4, 2=0·7+2. Leyendo los restos de abajo a arriba: (24546)₇.
07Álgebra
La expresión (x−a)²−(x+a)² es igual
a0.
b−4ax.✓ correcta
c−2a².
Por qué: (x-a)²-(x+a)² = (x²-2ax+a²)-(x²+2ax+a²) = -4ax.
08Álgebra / Planteamiento de ecuaciones
Un fabricante de tornillos gana 0.10€ por cada tornillo en buen estado que sale de la fábrica, pero pierde 0.15€ por cada uno que sale defectuoso. Un día en el que fabricó 10000 tornillos obtuvo un beneficio de 500€. El número de tornillos defectuosos fabricados ese día ascendió a
a1250.
b2000.✓ correcta
c1500.
Por qué: Sea d el número de defectuosos, entonces 10000-d son buenos. 0.10(10000-d)-0.15d=500, 1000-0.10d-0.15d=500, 1000-0.25d=500, d=2000.
09Potencias y radicales
La expresión √2 · (4√8 − 3√2 + 5√32) es igual a
Por qué: √8=2√2, √32=4√2. Dentro del paréntesis: 4·2√2-3√2+5·4√2 = 8√2-3√2+20√2 = 25√2. Multiplicando por √2: √2·25√2=25·2=50.
10Álgebra / Planteamiento de ecuaciones
La ecuación (3x−1)/4 − (2x−2)/3 + 5x/6 = −17/12 tiene como solución
ax = −6/11.
bx = −2.✓ correcta
cx = 5.
Por qué: Multiplicando todo por 12 (mcm de 4,3,6,12): 3(3x-1)-4(2x-2)+10x=-17. Desarrollando: 9x-3-8x+8+10x=-17, 11x+5=-17, 11x=-22, x=-2.
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