01Integrales
El valor de la integral ∫₋₁¹ (x⁵ − x) dx es...
A4.
B0.✓ correcta
CMarque esta opción si ninguna de las opciones anteriores es correcta.
Por qué: Tanto x⁵ como x son funciones impares, y la integral de una función impar en un intervalo simétrico respecto al origen (como [−1,1]) es siempre 0.
02Geometría analítica
En el plano, sea r la recta cuyas ecuaciones paramétricas son x=1+3t, y=1−t con t∈R. La recta perpendicular a r que pasa por el punto (4,2) es...
Ax = 4.
By = 2.
CMarque esta opción si ninguna de las opciones anteriores es correcta.✓ correcta
Por qué: El vector director de r es (3,−1). Una recta perpendicular debe tener dirección (1,3) (para que el producto escalar con (3,−1) sea 0). Pasando por (4,2), esa recta es 3x−y−10=0, que no coincide ni con x=4 (vertical) ni con y=2 (horizontal).
03Binomio de Newton
En el desarrollo de (3x+2y)³ está el término...
A18x²y.
B54x²y.✓ correcta
CMarque esta opción si ninguna de las opciones anteriores es correcta.
Por qué: (3x+2y)³ = 27x³ + 3·(3x)²·(2y) + 3·(3x)·(2y)² + 8y³ = 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³. El término 54x²y aparece efectivamente.
04Monotonía
La función f(x) = eˣ/x es...
Acreciente en el intervalo (1, +∞).✓ correcta
Bcreciente en el intervalo (−∞, 0).
CMarque esta opción si ninguna de las opciones anteriores es correcta.
Por qué: f'(x) = eˣ(x−1)/x². Como eˣ>0 y x²>0 siempre, el signo de f' lo determina (x−1): es positivo para x>1, así que f es creciente en (1,+∞). En (−∞,0), (x−1) es negativo, así que f es decreciente ahí, no creciente.
05Sistemas de ecuaciones
El sistema lineal 2x−y=α, −4x+2y=β con α,β∈R es...
Aincompatible si β≠−2α.✓ correcta
Bcompatible determinado si β=α.
CMarque esta opción si ninguna de las opciones anteriores es correcta.
Por qué: La segunda ecuación es −2 veces la primera en la parte izquierda (−4x+2y = −2(2x−y)), así que para que el sistema sea compatible se necesita β=−2α. Si β≠−2α, las dos rectas son paralelas y distintas, y el sistema es incompatible.
06Rango de matrices
El rango de la matriz [[1,0,2],[2,1,5],[0,1,1]] es...
A2.✓ correcta
B3.
CMarque esta opción si ninguna de las opciones anteriores es correcta.
Por qué: El determinante de la matriz es 1(1·1−5·1) − 0(2·1−5·0) + 2(2·1−1·0) = −4+4 = 0, así que el rango es menor que 3. Las filas (1,0,2) y (0,1,1) son linealmente independientes entre sí, así que el rango es 2.
07Funciones racionales
La función f(x) = x/(x−1) tiene...
Auna asíntota vertical y una asíntota horizontal.✓ correcta
Buna asíntota vertical y una asíntota oblicua.
CMarque esta opción si ninguna de las opciones anteriores es correcta.
Por qué: En x=1 el denominador se anula sin anular el numerador, dando una asíntota vertical. Cuando x→±∞, x/(x−1)→1, dando una asíntota horizontal en y=1.
08Continuidad
La función f(x) = eˣ·sen(x) si x>0, cos(x) si x≤0 ...
Aes continua en todo R.
Bno es continua en x=0.✓ correcta
CMarque esta opción si ninguna de las opciones anteriores es correcta.
Por qué: El valor de la función en x=0 (por la rama x≤0) es cos(0)=1. El límite por la derecha es lim(x→0⁺) eˣsen(x) = e⁰·sen(0) = 0. Como 1≠0, la función no es continua en x=0.