01Sistemas de ecuaciones
Sea el sistema x−2y=α, 3x−5y=β
AEl sistema es siempre compatible.✓ correcta
BEl sistema es compatible si y sólo si α=β.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: El determinante de la matriz de coeficientes es 1·(−5)−(−2)·3 = 1, distinto de cero, así que el sistema es compatible determinado sea cual sea el valor de α y β.
02Geometría analítica
La recta del plano que pasa por el punto (1,−1) y es paralela a la recta x=−1−2t, y=−5+3t
A...es la recta 2x+3y=−1.
B...es la recta x−5y=−4.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.✓ correcta
Por qué: El vector director es (−2,3), así que las rectas paralelas tienen forma 3x+2y=k. Sustituyendo (1,−1): 3−2=1, es decir 3x+2y=1, que no coincide con ninguna de las dos opciones dadas.
03Funciones racionales
La función f(x) = (x²+x+1)/(x+1) tiene:
AUna asíntota horizontal y una asíntota vertical.
BUna asíntota horizontal y una asíntota oblicua.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.✓ correcta
Por qué: El numerador tiene un grado más que el denominador, así que la función tiene asíntota oblicua (y=x), no horizontal, además de una asíntota vertical en x=−1 (el denominador se anula ahí sin anular el numerador, que vale 1). Esa combinación (oblicua y vertical) no coincide con ninguna de las dos opciones dadas, que hablan de asíntota horizontal.
04Funciones
¿Cuál es la función inversa de la función f(x) = 2x−9?
Af⁻¹(x) = 9x−2.
Bf⁻¹(x) = (x+9)/2.✓ correcta
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: Despejando x de y=2x−9 se obtiene x=(y+9)/2, así que f⁻¹(x)=(x+9)/2.
05Polinomios
Calcule el resto de dividir el polinomio P(x) = x⁴−x³−x²−x−1 entre el polinomio Q(x) = x−2
A0.
B1.✓ correcta
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: Por el teorema del resto, P(2) = 16−8−4−2−1 = 1.
06Integrales (área)
Calcule el área de la región del plano delimitada por la gráfica de la función f(x) = x+2, el eje OX y las rectas x=−1 y x=3
A8.
B10.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.✓ correcta
Por qué: El área de ese trapecio es (f(−1)+f(3))/2 · 4 = (1+5)/2 · 4 = 12, que no coincide con ninguna de las dos opciones numéricas.
07Matrices
Si a y b son dos números reales para los que la matriz A=[[a,0],[1,b]] verifica que A²=A, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
Aa=b.
Ba²+b²=1.✓ correcta
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: Resolviendo A²=A se llega a (a,b)=(0,1) o (1,0); en ambos casos a²+b²=1, así que esa igualdad se cumple siempre.
08Límites
Calcule el límite lim(x→+∞) √(x+1) − √x
A0.✓ correcta
B1.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: Multiplicando por el conjugado, la expresión se convierte en 1/(√(x+1)+√x), que tiende a 0 cuando x→+∞.