01Sistemas de ecuaciones
Si (x₀,y₀,z₀) es la solución del sistema y+z=2, x+z=3, x+y=3, entonces
Ax₀+y₀+z₀ = 2.
Bx₀+y₀+z₀ = 3.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.✓ correcta
Por qué: Resolviendo el sistema se obtiene x₀=2, y₀=1, z₀=1, así que x₀+y₀+z₀=4. No coincide ni con 2 ni con 3.
02Geometría del espacio
¿Cuál es la distancia del punto A=(1,1,1) al plano x+y+z=0?
A1.
B3.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.✓ correcta
Por qué: La distancia de un punto (x₀,y₀,z₀) al plano ax+by+cz=0 es |ax₀+by₀+cz₀|/√(a²+b²+c²). Aquí: |1+1+1|/√3 = 3/√3 = √3 ≈ 1.73, que no coincide ni con 1 ni con 3.
03Derivadas
Calcule la derivada de la función f(x) = sen(5x²+7)/10
Ax² cos(5x²+7).
Bx cos(5x²+7).✓ correcta
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: Por la regla de la cadena: f'(x) = cos(5x²+7)·10x/10 = x·cos(5x²+7).
04Extremos de funciones
En x=0 la función f(x) = −x²+cos(x)−1 tiene un:
Amáximo relativo.✓ correcta
Bpunto de inflexión.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: f'(x)=−2x−sen(x), que se anula en x=0 (posible extremo). f''(x)=−2−cos(x), que en x=0 vale −3, negativo. Al ser f'(0)=0 y f''(0)<0, x=0 es un máximo relativo.
05Paridad de funciones
¿Cuál de las siguientes funciones es par?
Af(x) = x cos(x²).
Bf(x) = 5x sen(x) + x².✓ correcta
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: Para la opción A: f(−x)=−x·cos(x²)=−f(x), es impar, no par. Para la opción B: f(−x)=5(−x)sen(−x)+(−x)² = 5(−x)(−sen x)+x² = 5x·sen(x)+x² = f(x), así que es par.
06Límites
Calcule el límite lim(x→1⁺) (7x²−3x+2)/(5x²+x−5)
A+∞.
B7/5.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.✓ correcta
Por qué: Sustituyendo x=1 directamente (el denominador 5+1−5=1 no se anula): (7−3+2)/(5+1−5) = 6/1 = 6, que no coincide ni con +∞ ni con 7/5.
07Fracciones simples
¿Para qué valores de a y b es cierta la igualdad (3x+5)/(x²+3x+2) = a/(x+1) + b/(x+2)?
Aa=2 y b=1.✓ correcta
Ba=−1 y b=−1.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: Descomponiendo en fracciones simples, (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2), así que a=2 y b=1.
08Álgebra lineal
Sean los vectores u=(1,0,0), v=(0,0,1) y w=(α,β,γ). Entonces:
ASiempre que γ=0 los vectores u, v y w son linealmente independientes.
BSiempre que γ≠0 los vectores u, v y w son linealmente independientes.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.✓ correcta
Por qué: El determinante de la matriz formada por los tres vectores es −β: los vectores son linealmente independientes exactamente cuando β≠0, sin que dependa del valor de γ. Ni la condición A ni la B (ambas centradas en γ) son las correctas.