01Sistemas de ecuaciones
Sea el sistema x−2y=α, 3x−5y=β
AEl sistema es siempre compatible.✓ correcta
BEl sistema es compatible si y sólo si α=β.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: El determinante de la matriz de coeficientes es 1·(−5)−(−2)·3 = −5+6 = 1, distinto de cero. Al no anularse el determinante, el sistema es compatible determinado para cualquier valor de α y β.
02Geometría analítica
La recta del plano que pasa por el punto (1,−1) y es paralela a la recta x=−1−2t, y=−5+3t
A...es la recta 2x+3y=−1.
B...es la recta x−5y=−4.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.✓ correcta
Por qué: El vector director de la recta dada es (−2,3), así que cualquier recta paralela tiene la forma 3x+2y=k. Sustituyendo el punto (1,−1): 3(1)+2(−1)=1, con lo que la recta buscada es 3x+2y=1. Ni la opción A (2x+3y=−1) ni la B (x−5y=−4) coinciden con esa ecuación.
03Funciones racionales
La función f(x) = (x²+x+1)/(x+1) tiene:
AUna asíntota horizontal y una asíntota vertical.
BUna asíntota horizontal y una asíntota oblicua.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.✓ correcta
Por qué: El numerador tiene grado 2 y el denominador grado 1: al ser un grado más, hay asíntota oblicua, no horizontal. Como x+1=0 en x=−1 no anula el numerador (que vale 1 ahí), también hay asíntota vertical en x=−1. La combinación real es asíntota oblicua y asíntota vertical, que no coincide con ninguna de las dos opciones dadas (que hablan de asíntota horizontal).
04Funciones
¿Cuál es la función inversa de la función f(x) = 2x−9?
Af⁻¹(x) = 9x−2.
Bf⁻¹(x) = (x+9)/2.✓ correcta
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: Despejando x de y=2x−9: x=(y+9)/2. Intercambiando los nombres, la inversa es f⁻¹(x)=(x+9)/2.
05Polinomios
Calcule el resto de dividir el polinomio P(x) = x⁴−x³−x²−x−1 entre el polinomio Q(x) = x−2
A0.
B1.✓ correcta
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: Por el teorema del resto, el resto de dividir entre (x−2) es P(2) = 16−8−4−2−1 = 1.
06Integrales (área)
Calcule el área de la región del plano delimitada por la gráfica de la función f(x) = x+2, el eje OX y las rectas x=−1 y x=3
A8.
B10.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.✓ correcta
Por qué: La región es un trapecio con bases f(−1)=1 y f(3)=5 y altura 4 (la distancia entre x=−1 y x=3). Su área es (1+5)/2·4 = 12, que no coincide con ninguna de las dos opciones numéricas dadas.
07Matrices
Si a y b son dos números reales para los que la matriz A=[[a,0],[1,b]] verifica que A²=A, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
Aa=b.
Ba²+b²=1.✓ correcta
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: Calculando A² e igualando a A se obtiene el sistema a²=a, a+b=1, b²=b, cuyas únicas soluciones son (a,b)=(0,1) o (a,b)=(1,0). En ambos casos a≠b (descarta A), pero en ambos casos a²+b²=0²+1²=1 y 1²+0²=1, así que a²+b²=1 se cumple siempre.
08Límites
Calcule el límite lim(x→+∞) √(x+1) − √x
A0.✓ correcta
B1.
CNinguna de las dos respuestas anteriores es correcta.
Por qué: Multiplicando y dividiendo por el conjugado √(x+1)+√x, la expresión se transforma en 1/(√(x+1)+√x). Cuando x tiende a infinito, ese denominador crece sin límite, así que el cociente tiende a 0.